欧几里得：质数定理之父
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质数寻觅之旅
在数学领域，质数，即仅能被自身和 1 均分的正整数，始终是备受关注的焦点。古往今来，许多杰出数学家致力于探索质数的奥秘，为后世留下了宝贵的思想财富。
1. 埃拉托斯特尼筛法
约公元前 300 年，古希腊数学家埃拉托斯特尼发明了一种筛选质数的方法，后世称之为“埃拉托斯特尼筛法”：
首先，从 2 开始，依次标出所有整数。
接着，从第一个质数 2 开始，将其倍数标记出来（例如，4、6、8、... 等被标记为“非质数”）
标记完成后，未被标记的数即为质数。
2. 阿特金斯筛法
1982 年，英国数学家阿特金斯提出了比埃拉托斯特尼筛法更有效率的“阿特金斯筛法”：
与埃拉托斯特尼筛法类似，首先标出所有整数。
接着，从 2 开始，将 2 的所有奇数倍数（3、5、7、... 等）标记出来。
然后再从 3 开始，将 3 的所有奇数倍数（9、15、21、... 等）标记出来。
以此类推，依次标记所有质数及其奇数倍数。
未被标记的数即为质数。
3. 狄克森筛法
20 世纪初，英国数学家狄克森改进了阿特金斯筛法，提出了“狄克森筛法”：
狄克森筛法采用了多个筛子，每个筛子用于标记特定范围内的质数及其倍数。
筛子之间的关联性确保了所有质数及其倍数都被标记。
未被标记的数即为质数。
4. 埃拉特-克里斯托弗森筛法
1990 年，埃拉特和克里斯托弗森联合提出了“埃拉特-克里斯托弗森筛法”：
该筛法将阿特金斯筛法和狄克森筛法结合起来，实现了更快的质数筛选。
通过使用较小的筛子来标记较小范围内的质数，再用较大筛子来标记较大范围内的质数，提高了筛分的效率。
5. 勒梅尔筛法
1925 年，法国数学家勒梅尔提出了“勒梅尔筛法”：
该筛法专门用于寻找非常大范围内的质数。
勒梅尔筛法将质数分解成较小的质数，并使用这些较小质数来构造一个“合数筛子”来筛出非质数。
通过逐步缩小筛子范围，可以高效地找到大范围内的所有质数。
6. Pollard 的 ρ 算法
1975 年，Pollard提出了“Pollard 的 ρ 算法”：
该算法用于寻找大范围内的质数。
算法的核心思想是构造一个伪随即数列，并使用这个数列来检测被检测数是否是质数。
通过不断地迭代伪随即数列，可以有效地找到质数。
7. Miller-Rabin 素数判定法
1976 年，Miller和Rabin 独立提出了“Miller-Rabin 素数判定法”：
该判定法用于快速判断一个大数是否是质数。
算法基于一个事实：一个数 n 如果不是质数，则可以通过找到一个比 n 小且大于 1 的数 a，使 gcd(an-1 - 1, n) > 1 (gcd 代表“公因数”)。
如果不满足上述性质，则算法输出“可能质数”；如果满足，则输出“合成数”.
conclusion
质数寻觅的探索之旅仍在不断进行，而上述方法是人类智慧的结晶，为我们提供了筛分质数的有力工具。随着数学的不断向前，我们期待着在质数领域有更多的突破性进展。
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